今天要來跟大家聊聊「根軌跡 わかりやすく」這個控制工程中超級實用的分析工具。很多同學剛接觸時都覺得很抽象，其實只要掌握幾個重點，根軌跡真的沒有想像中那麼難懂啦！

根軌跡主要是用來觀察系統增益變化時，閉迴路極點在複數平面上的移動軌跡。簡單說就是當我們調整控制器參數時，系統的極點會怎麼跑。這個方法在設計控制系統時超級重要，可以幫助我們預測系統的穩定性和動態響應。

先來看幾個根軌跡的基本性質：

畫根軌跡時，最重要的是要先找出幾個關鍵點：實軸上的根軌跡區段、漸近線角度和交點、分離點和會合點。這些都是考試常考的重點喔！特別是分離點的計算，很多同學都會在這裡卡關，其實只要記得對1+KG(s)H(s)=0的方程式做dK/ds=0就能找到。

在實際應用上，根軌跡可以幫助我們快速判斷系統的穩定範圍。比方說當增益K增加到某個值時，根軌跡會進入右半平面，這時候系統就會變得不穩定。所以設計控制器時，我們會利用根軌跡來選擇適當的K值，讓系統既有足夠的響應速度，又能保持穩定。

進階一點的話，還會遇到有零點的情況。零點的位置會吸引根軌跡，讓極點往零點方向移動。這在設計補償器時特別有用，我們可以透過增加零點來改善系統的動態性能。不過要注意零點也不能亂加，加錯位置反而會讓系統變差喔！

根軌跡到底是什麼？控制工程師必懂的基本概念

每次聽到「根軌跡」這三個字，是不是覺得有點抽象難懂？其實它就是控制系統分析時超實用的工具啦！簡單來說，根軌跡就是把系統隨參數變化時，閉迴路極點在複數平面上的移動軌跡畫出來。這樣工程師就能一眼看出系統穩定性、響應速度這些重要特性，根本是控制界的GPS導航啊！

講到根軌跡的繪製規則，其實有幾個關鍵點要掌握。首先要知道開迴路極點和零點的位置會直接影響軌跡走向，再來就是軌跡一定會對稱於實軸（因為複數根都是成對出現的嘛）。最實用的是，當系統增益K從0增加到無限大時，你可以看到極點怎麼跑，這對調整控制器參數超有幫助的！

這邊整理幾個根軌跡的重要特性給大家參考：

說到實際操作，很多工程師會用MATLAB這類工具來畫根軌跡圖，但其實手繪也能抓到重點喔！比如說當你要設計一個PID控制器，先畫出原始系統的根軌跡，再看看加了控制器後極點怎麼移動，這樣就能直觀地調整參數讓系統達到想要的性能。有時候光看方程式可能霧煞煞，但畫成圖就整個豁然開朗了呢！

在業界實務上，根軌跡法特別適合處理單一參數變化的情況（像是比例增益K）。它讓你能預測參數調整會如何影響系統動態，不用真的去改硬體或寫一堆程式測試。這種「先看再改」的概念，對縮短開發時間超級重要，難怪資深工程師都說這是吃飯的傢伙！

為什麼要用根軌跡？分析系統穩定性的關鍵工具

各位工程師朋友們，今天我們來聊聊控制系統分析中超級實用的工具——根軌跡法！這個方法在設計控制器時真的幫了大忙，特別是當我們要調整系統參數時，不用一直反覆試錯，直接畫出根軌跡圖就能一目瞭然。簡單來說，根軌跡就是當系統某個參數（通常是增益K）從0變化到無窮大時，閉迴路系統極點在複數平面上的移動軌跡。這樣我們就能預測系統的穩定性、阻尼比和自然頻率等重要特性。

說到這裡，可能有人會問：「那根軌跡到底能告訴我們什麼？」來看看這個表格就很清楚了：

畫根軌跡的時候，我們會用幾個基本規則來快速繪製，比如起點在開迴路極點、終點在開迴路零點或無窮遠處。這些規則雖然看起來有點數學，但實際操作起來其實很直觀。舉個例子，當我們看到根軌跡往右半平面移動，就知道系統可能會變得不穩定，這時候就要調整控制器的設計。而且根軌跡還能幫助我們找到最佳的K值範圍，讓系統既穩定又有理想的響應速度。

在實際工作中，我發現很多工程師一開始會覺得根軌跡很抽象，但其實只要多練習幾個例子，很快就能掌握要領。特別是當你遇到PID控制器調參的問題時，根軌跡法真的能省下不少時間。它讓我們不用一直靠猜的來調整參數，而是有系統地分析每個K值對系統的影響。這樣的方法在處理複雜系統時特別有用，因為光靠經驗法則可能很難找到最佳解。

根軌跡怎麼畫？手把手教你從零開始繪製

最近好多同學在問根軌跡怎麼畫，其實這東西說難不難，只要掌握幾個關鍵步驟就能輕鬆上手。今天就用最白話的方式，帶大家一步一步把根軌跡畫出來，保證連完全沒概念的人也能看懂！

首先要知道根軌跡是啥，簡單說就是系統參數變化時，閉迴路極點在複數平面上的移動軌跡。畫的時候要先把開迴路轉移函數寫成標準形式，這個步驟超重要，沒做好後面會整個歪掉。記得分子分母都要整理成(s+z)和(s+p)的乘積形式，這樣後續計算才會方便。

接下來就是找起始點和終點，這個用表格來看最清楚：

畫的時候還要記得幾個基本規則：根軌跡一定對稱於實軸、分支數等於極點數、實軸上的根軌跡要看右邊極點零點總數是不是奇數。這些規則剛開始可能會覺得有點複雜，但實際畫過幾次就會發現其實很有邏輯性。

分離點和會合點的計算也是重點，這時候就要解dK/ds=0的方程式。建議先用試誤法找大概位置，再用牛頓法之類的數值方法求精確值。遇到角度條件時，記得要算從測試點到各極點零點的角度差，這個部分要特別小心，很容易算錯正負號。